题目内容
“关于x的不等式
+
≥k有解”是“关于x的不等式|1-x|+|x+2|≥k恒成立”的（ ）
| x-3 |
| 6-x |
| A、充分而不必要条件 |
| B、必要而不充分条件 |
| C、充分必要条件 |
| D、既不充分又不必要条件 |
分析：首先分析题目求“关于x的不等式
+
≥k有解”是“关于x的不等式|1-x|+|x+2|≥k恒成立”的什么条件，故需要分别解出前者，后者分别满足的条件，然后分别判断前者后者之间的包含关系，即可判断出答案．在解后者恒成立的问题时，用到绝对值不等式的性质求解出最小值，使k小于最小值即满足恒成立．
| x-3 |
| 6-x |
解答：解：x的不等式
+
≥k有解，
因为不等式
+
≥k成立，必须满足平方根下为非负数．
即：3≤x≤6
+
=
=
≤
于是必有0＜k≤
，不等式才有解．
对于|1-x|+|x+2|≥k
由绝对值不等式|1-x|+|x+2|≥|1-x+x+2|=3，即必须满足k≤3才满足恒成立．
故前者是后者的子集，即前者是后者的充分不必要
故选A．
| x-3 |
| 6-x |
因为不等式
| x-3 |
| 6-x |
即：3≤x≤6
| x-3 |
| 6-x |
(x-3)+(6-x)+2
|
3+ 2
|
| 6 |
于是必有0＜k≤
| 6 |
对于|1-x|+|x+2|≥k
由绝对值不等式|1-x|+|x+2|≥|1-x+x+2|=3，即必须满足k≤3才满足恒成立．
故前者是后者的子集，即前者是后者的充分不必要
故选A．
点评：此题主要考查绝对值不等式的解法问题，其中涉及到充分条件、必要条件的判断，属于综合性的问题，有一定的计算量和技巧性，属于中档题型．
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