题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
，
，侧面
是等腰直角三角形，
，平面
平面，点
分别是棱
上的点，平面
平面
.
（1）确定点的位置，并说明理由；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）因为平面
平面
，求得
，又由
，进而得到
点
是
的中点，又因为平面平面，得
，得点
是
的中点；
（2）以点为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，求得平面
，平面
的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
详解：（1）因为平面平面，平面
平面
，
平面
平面
，
所以，又因为，
所以四边形
是平行四边形，
所以
，即点是的中点，
因为平面平面，平面平面
，
平面平面
，
所以，点是的中点，所以点是的中点，
综上，
分别是
的中点.
（2）因为
，所以
，
又因为平面
平面
，所以
平面，
又
，所以
.
如图以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
由中点公式得到
，
设平面，平面的法向量分别为
，
，
由
，得：
，
令
，得
，
由
，得：
，
令
，得
所以
.
综上，二面角
的余弦值是.
【题目】随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在
市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析，得到如表（单位：人）：
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？
（Ⅱ）①现从所抽取的30岁以上的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出3人赠送优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率．
②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为
，求的数学期望和方差．
参考公式：
，其中
.
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
