题目内容
【题目】如图．设椭圆C： 
（a＞b＞0）的离心率e= 
，椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4． 
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：x=1与椭圆C交于P、Q两点，P点位于第一象限，A、B是椭圆上位于直线l两侧的动点，若直线AB的斜率为 ，求四边形APBQ面积的最大值．
【答案】
（1）解：∵椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4，
∴2a=4，即a=2，
又∵离心率e= 
，
∴ 
= 
，即b2=3，
∴椭圆C的方程为： 
；
（2）解：依题意， 
，解得：yP= 
，
设T（1，t），则﹣ ＜t＜ ，
∵过点T的直线AB的斜率为 ，
∴直线AB方程为：x﹣2y+2t﹣1=0，
∴点P到直线AB的距离dP= 
= 
，
点Q到直线AB的距离dQ= 
= 
，
联立直线AB与椭圆方程，消去x整理得：
16y2﹣12（2t﹣1）y+12t2﹣12t﹣9=0，
∴y1+y2= 
，y1y2= 
，
∴ 
= 
= 
﹣4
= 
，
∴|AB|2= 
+ =5 ，
∴S四边形APBQ= |AB|（dP+dQ）
= 
（ + ）
= 
，
记f（t）=﹣4t2+4t+15=﹣4 
+16，
则当t= 时，f（t）取最大值16，此时S四边形APBQ取最大值，
∴四边形APBQ面积取最大值 
= 
．
【解析】（1）通过椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4、利用椭圆定义可知a=2，通过离心率e= 
可知b2=3，进而可得结论；（2）由（1）可知yP= 
，通过设T（1，t）（﹣ ＜t＜ ），利用过点T的直线AB的斜率为 可知直线AB方程为x﹣2y+2t﹣1=0，进而可知点P到直线AB的距离dP= 
、点Q到直线AB的距离dQ= 
，通过联立直线AB与椭圆方程、利用韦达定理及两点间距离公式可知|AB|2=5 
，利用S四边形APBQ= |AB|（dP+dQ）计算可知S四边形APBQ= 
，通过配方可知f（t）=﹣4t2+4t+15在t= 
时取最大值16，进而可得结论．
