题目内容
【题目】如图.设椭圆C: (a>b>0)的离心率e= ,椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:x=1与椭圆C交于P、Q两点,P点位于第一象限,A、B是椭圆上位于直线l两侧的动点,若直线AB的斜率为 ,求四边形APBQ面积的最大值.
【答案】
(1)解:∵椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4,
∴2a=4,即a=2,
又∵离心率e= ,
∴ = ,即b2=3,
∴椭圆C的方程为: ;
(2)解:依题意, ,解得:yP= ,
设T(1,t),则﹣ <t< ,
∵过点T的直线AB的斜率为 ,
∴直线AB方程为:x﹣2y+2t﹣1=0,
∴点P到直线AB的距离dP= = ,
点Q到直线AB的距离dQ= = ,
联立直线AB与椭圆方程,消去x整理得:
16y2﹣12(2t﹣1)y+12t2﹣12t﹣9=0,
∴y1+y2= ,y1y2= ,
∴ =
= ﹣4
= ,
∴|AB|2= + =5 ,
∴S四边形APBQ= |AB|(dP+dQ)
= ( + )
= ,
记f(t)=﹣4t2+4t+15=﹣4 +16,
则当t= 时,f(t)取最大值16,此时S四边形APBQ取最大值,
∴四边形APBQ面积取最大值 = .
【解析】(1)通过椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4、利用椭圆定义可知a=2,通过离心率e= 可知b2=3,进而可得结论;(2)由(1)可知yP= ,通过设T(1,t)(﹣ <t< ),利用过点T的直线AB的斜率为 可知直线AB方程为x﹣2y+2t﹣1=0,进而可知点P到直线AB的距离dP= 、点Q到直线AB的距离dQ= ,通过联立直线AB与椭圆方程、利用韦达定理及两点间距离公式可知|AB|2=5 ,利用S四边形APBQ= |AB|(dP+dQ)计算可知S四边形APBQ= ,通过配方可知f(t)=﹣4t2+4t+15在t= 时取最大值16,进而可得结论.