Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD^底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF^PB交PB于点F，

(1)求证：PA//平面EDB；
(2)求证：PB^平面EFD；
(3)求二面角C-PB-D的大小.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）证明线面平行，由判定定理，可证明PA与平面EDB内的一条直线平行. 连接AC，交BD于点O，连接EO.即可通过中位线的性质证明EO//PA，从而证明了本题；（2）证明线面垂直，由判定定理，可证明PB与平面EFD内两条相交直线垂直.又题设条件已给出EF^PB，从而只需再找出一条即可.由题意，可以证明DE⊥面PCB,从而DE⊥PB.本题即可得证；（3）由第（2）问，通过垂面法可知∠DFE即为二面角C-PB-D的平面角.又易知DE^EF，再计算各边，从而由三角函数知识可得二面角C-PB-D的平面角为.
试题解析：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接EO.
可知O为AC的中点，又因为E为PC的中点，
所以EO//PA, 因为EO面EDB,PA面EDB
∴PA//平面EDB                       4分

（2）证明：∵侧棱PD^底面ABCD，且BC面ABCD
∴BC ^PD，又BC⊥CD，PD∩CD="D," ∴BC ^面PCD.因为DE面PCD, ∴BC ^ DE
又PD＝DC，点E是PC的中点，可知DE ^PC.由于PC∩BC=C,所以DE⊥面PCB.
∴DE⊥PB  同时EF⊥PB，DE∩EF=E
可得  PB^平面EFD                       8分
（3）解：由（2）得PB^平面EFD，且EF面CPB，DF面DPB
所以∠DFE即为二面角C-PB-D的平面角.设PD=DC=2
在Rt△DEF中，DE^EF，且DE=，PF=.
∴sin∠DFE＝,因此二面角C-PB-D的平面角为.                    12分