Question

关于x的不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

与x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0（a∈R）的解集分别是A和B，求使A⊆B的a的取值范围．

Answer 1

分析：解绝对值不等式求得A=[2a，a²-1]，解一元二次不等式求得B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}，由A⊆B，可得

2≤2a a2+1≤3a+1

，或

3a+1≤2a a2+1≤2

．分别求得这两个
不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：由关于x的不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

，可得-

(a-1)2

2

≤x-

(a+1)2

2

≤

(a-1)2

2

，解得 2a≤x≤a²-1，
∴A=[2a，a²-1]．
解不等式x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0可得，（x-2）[x-（3a+1）]≤0，∴B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}，
由A⊆B，如图所示：
可得

2≤2a a2+1≤3a+1

，或 

3a+1≤2a a2+1≤2

．
解得 1≤a≤3，或 a=-1，故a的取值范围为 {a|1≤a≤3，或 a=-1 }．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．