题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的右准线方程为
,右顶点为
.
求椭圆C的方程;
若M,N是椭圆C上不同于A的两点,点P是线段MN的中点.
如图1,若
为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方,求直线MN的方程;
如图2所示,点Q是线段NA的中点,若
且
的角平分线与x轴垂直,求直线AM的斜率.
【答案】(1); (2)①
;②
.
【解析】
(1)利用准线方程,顶点坐标,得到的值,从而得到椭圆方程;(2)①利用等腰直角三角形,求得
点坐标;再利用点差法,求得直线
的斜率,得到直线方程;②根据点差法得到的结论
,通过假设直线
方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求得
两点坐标,构造关于
的方程,求得
的取值。
椭圆C:
的右准线方程为
,右顶点为
.
,
,
,
,
椭圆C的方程为
.
为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方.
的方程为:
,AP的方程为:
.
由可得
.
设,
则
,
,
,
两式相减可得
可得:,又
,可得
.
直线MN的方程为
,即
.
设AM的斜率为k,
点P是线段MN的中点,点Q是线段NA的中点,
.
的角平分线与x轴垂直,
,
.
由可得
,
.
设AM的方程为.
由可得
.
,
,
,
以换k,可得
,
,
,
整理可得:,解得
,
.
直线AM的斜率为
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