题目内容
【题目】徐州、苏州两地相距500千米,一辆货车从徐州匀速行驶到苏州,规定速度不得超过100千米/小时.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为0.01;固定部分为元(>0).
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
【答案】(1), ;(2)当时行驶速度应为千米/时;当时行驶速度应为v=100千米/时;
【解析】试题(1)求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间,根据货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可得全程运输成本,及函数的定义域;
(2)利用基本不等式可得,当且仅当,即时,等号成立,进而分类讨论可得结论.
试题解析:解:(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为
y=a×+0.01v2×=
故所求函数及其定义域为,
(2)依题意知a,v都为正数,故有,当且仅当,
即时,等号成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
①若≤100,即时,则当时,全程运输成本y最小.
②若>100,即时,则当时, ,函数在上单调递减,也即当v=100时,全程运输成本y最小.
综上知,为使全程运输成本y最小,当时行驶速度应为千米/时;当时行驶速度应为v=100千米/时.
【题目】某港口有一个泊位,现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位:小时),如果停靠时间不足半小时按半小时计时,超过半小时不足1小时按1小时计时,以此类推,统计结果如表:
停靠时间 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 |
轮船数量 | 12 | 12 | 17 | 20 | 15 | 13 | 8 | 3 |
(Ⅰ)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为小时,求的值;
(Ⅱ)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠小时,且在一昼夜的时间段中随机到达,求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.