题目内容

【题目】如图:双曲线:的左、右焦点分别为,,过作直线轴于点.

(1)当直线平行于的一条渐近线时,求点到直线的距离;

(2)当直线的斜率为时,在右支上是否存在点,满足?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若直线交于不同两点,且上存在一点,满足(其中为坐标原点),求直线的方程.

【答案】(1)(2)在双曲线的右支上不存在点,满足,详见解析(3)

【解析】

(1) 双曲线:的左、右焦点分别为,,,,的渐近线方程为,由对称性可知:,根据点到直线的距离公式,即可求得答案;

(2) 直线的斜率为时,的方程为,设右支上的点的坐标为,则,由,得,结合已知,即可求得答案;

(3) 设:,联立的方程,得,根据韦达定理,结合已知,即可求得答案.

(1) 双曲线:的左、右焦点分别为,

,,的渐近线方程为,

由对称性可知,即,

的距离.

(2)当直线的斜率为时,的方程为,故,

,故,

右支上的点的坐标为,则,

,得,即:

消去

,

由根与系数的关系知,此方程无正根

在双曲线的右支上不存在点,满足.

3)设,,则,

点在曲线上,故

:.

联立的方程,得,

由于交于不同两点,

,

,

从而①即为,

解得.

即直线的方程为.

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