题目内容
【题目】如图:双曲线:的左、右焦点分别为,,过作直线交轴于点.
(1)当直线平行于的一条渐近线时,求点到直线的距离;
(2)当直线的斜率为时,在的右支上是否存在点,满足?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若直线与交于不同两点、,且上存在一点,满足(其中为坐标原点),求直线的方程.
【答案】(1)(2)在双曲线的右支上不存在点,满足,详见解析(3)
【解析】
(1) 双曲线:的左、右焦点分别为,,,,的渐近线方程为,由对称性可知:,根据点到直线的距离公式,即可求得答案;
(2) 直线的斜率为时,的方程为,设右支上的点的坐标为,则,由,得,结合已知,即可求得答案;
(3) 设:,联立与的方程,得,根据韦达定理,结合已知,即可求得答案.
(1) 双曲线:的左、右焦点分别为,
,,的渐近线方程为,
由对称性可知:,即,
到的距离.
(2)当直线的斜率为时,的方程为,故,
又 ,故,
设右支上的点的坐标为,则,
由,得,即:
由消去
得,
由根与系数的关系知,此方程无正根
在双曲线的右支上不存在点,满足.
(3)设,,则,
由点在曲线上,故①
设:.
联立与的方程,得,
由于与交于不同两点,
,
,
从而①即为,
解得.
即直线的方程为.
【题目】河北省高考综合改革从2018年秋季入学的高一年级学生开始实施,新高考将实行“3+1+2”模式,其中3表示语文、数学、外语三科必选,1表示从物理、历史两科中选择一科,2表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科.某校2018级入学的高一学生选科情况如下表:
选科组合 | 物化生 | 物化政 | 物化地 | 物生政 | 物生地 | 物政地 | 史政地 | 史政化 | 史生政 | 史地化 | 史地生 | 史化生 | 合计 |
男 | 130 | 45 | 55 | 30 | 25 | 15 | 30 | 10 | 40 | 10 | 15 | 20 | 425 |
女 | 100 | 45 | 50 | 35 | 35 | 35 | 40 | 20 | 55 | 15 | 25 | 20 | 475 |
合计 | 230 | 90 | 105 | 65 | 60 | 50 | 70 | 30 | 95 | 25 | 40 | 40 | 900 |
(1)完成下面的列联表,并判断是否在犯错误概率不超过0.01的前提下,认为“选择物理与学生的性别有关”?
(2)以频率估计概率,从该校2018级高一学生中随机抽取3名同学,设这三名同学中选择物理的人数为,求的分布列和数学期望.
选择物理 | 不选择物理 | 合计 | |
男 | 425 | ||
女 | 475 | ||
合计 | 900 |
附表及公式:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |