题目内容
4．已知函数f（x）=x3+mx2+nx+m2在x=1时有极值10，则m+n=（ ）| A． | 7 | B． | 0 | C． | 0或-7 | D． | -7 |
分析 对函数进行求导，根据函数f（x）在x=-1有极值0，可以得到f（-1）=0，f′（-1）=0，代入求解即可
解答 解：∵f（x）=x3+mx2+nx+m2
∴f′（x）=3x2+2mx+n
依题意可得$\left\{\begin{array}{l}f（1）=10\\ f′（1）=0\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}1+m+n+{m}^{2}=10\\ 3+2m+n=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}m=-3\\ n=3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=4\\ n=-11\end{array}\right.$，
当m=-3，n=3时函数f（x）=x3-3x2+3x+9，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0
函数在R上单调递增，函数无极值，舍，
所以m+n=-7．
故选：D．
点评 本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值⇒f′（x0）=0．反之结论不成立，即函数有f′（x0）=0，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属中档题．
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