题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论单调性;
(Ⅱ)当时,设函数
存在两个零点
,求证:
.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)证明见解析
【解析】
(Ⅰ),分
和
两种情况讨论函数的单调性;
(Ⅱ)解法一:由题意可知,两式相减可得
,再利用分析法转化为证明要证
,只需证
,再通过变形,构造,证明只需证
即可,
,构造函数
,利用导数证明
.
解法二:由题意可知,再换元令
,即
,两式相减得
,要证
,即只需证
,即证
,再通过变形,构造得到
,
,
,利用导数证明
.
解:(1),
当时,
,
在
上单调递增;
当时,令
得
,
在
上单调递减,在
上单调递增;
(Ⅱ)解法一:由题意知,由
得
,
两式相减得,因为
,故
,
要证,只需证
,
两边同除以得
,
令,故只需证
即可.
令,
,
令,
当时,
,故
在
上单调递减,
故,故
在
上单调递增,故
,故原命题得证.
【解法二】
由题意知,由
得
,
令,即
,两式相减得
,
要证,即只需证
,即证
,即
,即
,
令,只需证
即可.
令,
,
当时,
,故
在
上单调递增,故
,因此原不等式成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/ | 78 | 79 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 93 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差
,以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(
表示相应事件的频率):
①;②
;③
,评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断
设备的性能等级.
(2)将直径小于等于的零件或直径大于等于
的零件认定为是“次品”,将直径小于等于
的零件或直径大于等于
的零件认定为是“突变品”,从样本的“次品”中随意抽取2件零件,求“突变品”个数
的数学期望.