Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O为AB中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足① = ，②直线AQ与BP的交点在椭圆E： + =1（a＞b＞0）上．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设AQ于BP交点C为（x，y），P（﹣2，y1），Q（x1 ， 2），
由题可知， ，
从而有 ，整理得 ，即为椭圆方程，
椭圆E的方程 ；
（Ⅱ）R（2，0），设M（x0 ， y0），有 ，
从而所求梯形面积 = ，
令t=2+x0 ， 2＜t＜4， ，
令u=4t3﹣t4 ， u'=12t2﹣4t3=4t2（3﹣t），
当t∈（2，3）时，u=4t3﹣t4单调递增，
当t∈（3，4）时，u=4t3﹣t4单调递减，则当t=3时S取最大值 ，
梯形ORMN面积的最大值
【解析】（Ⅰ）由题可知， ，整理即可求得椭圆E的方程；（Ⅱ）由 ，则梯形面积 = ，t=2+x0 ， 2＜t＜4， ，根据函数的单调性即可求得梯形ORMN面积的最大值．