题目内容
【题目】已知椭圆:,、分别为椭圆长轴的左、右端点,为直线上异于点的任意一点,连接交椭圆于点.
(1)若,求直线的方程;
(2)是否存在轴上的定点使得以为直径的圆恒过与的交点?如果存在,请求出定点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)或;(2)存在,.
【解析】
(1)根据,可得,利用坐标计算,可得点,代入椭圆方程,然后可得,最后可得直线的斜率并得方程.
(2)假设直线的方程,然后分别与,联立,可得,然后假设点的坐标,根据,可得结果.
解:(1)设,.
,
, .
整理得 , 即.
代入椭圆方程解得:
,.
故直线的方程为或.
(2)方法一:
由题可知:直线的斜率存在
设直线的方程为,,
由得.
由得.
.
假设存在定点满足要求,则.
,.
,整理得.
存在轴上的定点,使得以为直径的圆恒过与的交点.
方法二:
假设存在定点满足要求,设,
则由以为直径的圆通过与的交点得
①
设 整理得
,
,
,整理得 . ②
将②代入①,有,,解得.
存在轴上的定点,使得以为直径的圆恒过与的交点
【题目】2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻,避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式.在家中适当锻炼,合理休息,能够提高自身免疫力,抵抗该种病毒.某小区为了调查“宅”家居民的运动情况,从该小区随机抽取了100位成年人,记录了他们某天的锻炼时间,其频率分布直方图如下:
(1)求a的值,并估计这100位居民锻炼时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)小张是该小区的一位居民,他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长:
序号n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
锻炼时长m(单位:分钟) | 10 | 15 | 12 | 20 | 30 | 25 | 35 |
(Ⅰ)根据数据求m关于n的线性回归方程;
(Ⅱ)若(是(1)中的平均值),则当天被称为“有效运动日”.估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”?
附;在线性回归方程中,,.
【题目】在传染病学中,通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起,到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.
(1)一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息,得到如下表格,
该传染病的潜伏期受诸多因素影响,为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样,从上述1000名患者中抽取200人,得到如下列联表,请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关
潜伏期≤6天 | 潜伏期>6天 | 总计 | |
50岁以上(含50岁) | 100 | ||
50岁以下 | 55 | ||
总计 | 200 |
(2)以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率,代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率,每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究,该研究团队随机调查了20名患者,其中潜伏期超过6天的人数最有可能(即概率最大)是多少?
附:下面的临界值表仅供参考.
0.05 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
(参考公式:,其中.)