Question

19．设O为△ABC的外心，且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{3}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，则△ABC的内角C=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 设△ABC的外接圆的半径为R，由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{3}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，化为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=-$\sqrt{3}\overrightarrow{OC}$，两边作数量积运算可得：$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）^{2}$=$3{\overrightarrow{OC}}^{2}$，化简即可得出．

解答 解：设△ABC的外接圆的半径为R，
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{3}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，化为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=-$\sqrt{3}\overrightarrow{OC}$，
两边作数量积运算可得：$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）^{2}$=$3{\overrightarrow{OC}}^{2}$，
化为2R²+2R²cos∠AOB=3R²，
化为cos∠AOB=$\frac{1}{2}$，∠AOB∈（0，π），
可得∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{π}{6}$，
故选：A．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、圆心角与圆周角直角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．