题目内容
【题目】已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆
截得的弦长为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线
交椭圆于
、
两点，线段
的中点为
，直线
是线段的垂直平分线，试问直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）直线
过定点
，详见解析.
【解析】
（1）由题意得出
，由题意知点
在椭圆
上，由此得出关于
、
的方程组，求出
、
的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）解法一：由题意可知，直线
的斜率不为零，然后分直线的斜率存在且不为零和直线的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，设直线的方程为
，设点
、
，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由
得出
，并写出直线的方程，由此可得出直线所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线为
轴，即可得出直线过定点，由此得出结论；
解法二：由题意可知，直线的斜率不为零，然后分直线的斜率存在且不为零和直线的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，由点差法可得出直线
的斜率为
，可写出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线为轴，即可得出直线过定点，由此得出结论.
（1）抛物线
的焦点为
，准线为
.
由于抛物线的准线截椭圆所得弦长为
，
则点在椭圆上，则有
，解得
，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）法一：显然点
在椭圆内部，故
，且直线的斜率不为
.
当直线的斜率存在且不为时，易知
，设直线的方程为，
代入椭圆方程并化简得：
.
设，，则
，解得.
因为直线是线段的垂直平分线，
故直线的方程为
，即
，即
.
令
，此时
，
，于是直线过定点；
当直线的斜率不存在时，易知
，此时直线
，故直线过定点.
综上所述，直线过定点；
法二：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.
当直线的斜率存在且不为时，设，，
则有
，
，
两式相减得
，
由线段的中点为，则，
，
故直线的斜率
，
因为直线是线段的垂直平分线，
故直线的方程为，即，即.
令，此时，，于是直线过定点；
当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点
综上所述，直线过定点.
