Question

15名新生中有3名优秀生，随机将15名新生平均分配到3个班级中去.

（1）每班级各分配一名优秀生的概率是多少？

（2）3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？

（3）甲班至少分到一名优秀生的概率是多少？

Answer 1

思路解析：本题考查等可能事件的概率，需求出各事件所包含的基本事件数.这是一个分配问题，是典型的组合应用题，此题充分反映了排列、组合与概率的内在联系.

解：（1）每班分配到1名优秀生和4名非优秀生，将15名新生平均分配到3个班共有种不同分法.将3名优秀生分到3个班有A种分法，将12名非优秀生平均分到三个班有种，所以每班一名优秀生的分配方法有

故每班各分配一名优秀生的概率是P₁=

（2）将3名优秀生分配到同一个班级去，有种分法，这个班还少2人，有种选法，剩下的10个人平均分到两个班有种分法，由分步乘法计数原理将3名优秀生分配到同一个班级共有··种分法，

故所求概率P₂=

（3）解法一：甲班至少一名优秀生，可以是1名、2名、3名，恰有1名时，分法数是；恰有2名时，分法数是；恰有3名时，分法数有.由分类加法计数原理，共有种，故所求的概率为P₃=

解法二：从反面考虑.甲班至少一名的反面是全无，而全无的分法数是，其概率是

故所求的概率为P₃=

方法归纳  分组包括平均分组与非平均分组两类情形，前面已有讲述.利用等可能事件的概率模型求概率时，不需要通过大量重复试验，只需对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可，它适用的前提是全体基本事件的有限性和等可能性.