Question

（本题满分15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

   （I）求椭圆的方程；

   （II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．

Answer 1

解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，

设线段MN的中点的横坐标是，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；

当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．