题目内容

【题目】已知为坐标原点，双曲线上有两点满足，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

讨论直线的斜率是否存在：当斜率不存在时，易得直线的方程，根据及点O到直线距离即可求得的关系，进而求得离心率；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线方程，结合及点到直线距离即可求得离心率。

（1）当直线的斜率不存在时，由点到直线的距离为可知直线的方程为

所以线段

因为，根据等腰直角三角形及双曲线对称性可知，即

双曲线中满足

所以，化简可得同时除以 得

，解得

因为，所以

（2）当直线的斜率存在时，可设直线方程为

，联立方程可得

化简可得

设

则，

因为点到直线的距离为

则，化简可得

又因为

所以

化简得

即

所以，双曲线中满足

代入化简可得

求得，即

因为，所以

综上所述，双曲线的离心率为

所以选A

练习册系列答案
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