Question

如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M、Q分别为PC，AD的中点．
（1）求证：PA∥平面MBD；
（2）求：二面角P-BD-A的余弦值；
（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于点O，连接MO，由正方形ABCD知O为AC的中点，由M为PC的中点，知MO∥PA，由此能够证明PA∥平面MBD
（2）以QA为x轴，过Q平行于AB的直线为y轴，以QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角P-BD-A的余弦值．
（3）存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面PNC．由四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，知BQ⊥NC，由此能够证明平面PCN⊥平面PQB．

解答：（1）证明：连接AC交BD于点O，连接MO，
由正方形ABCD知O为AC的中点，
∵M为PC的中点，
∴MO∥PA，
∵MO?平面MBD，PA?平面MBD，
∴PA∥平面MBD
（2）解：以QA为x轴，过Q平行于AB的直线为y轴，以QP为z轴，建立空间直角坐标系，

则P（0，0，2

3

），D（-2，0，0），B（2，4，0），
∴

DP

=(2，0，2

3

)，

DB

=(4，4，0)，
设平面PBD的法向量

n1

=（x，y，z），则

DP

•

n1

=0，

DB

•

n1

=0，
∴

2x+2 3 z=0 4x+4y=0

，∴

n1

=(

3

，-

3

，-1)，
∵平面ABD的法向量

n2

=(0，0，1)，
∴二面角P-BD-A的余弦值cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

-1

7

|=

7

7

，
∴二面角P-BD-A的余弦值为

7

7

．
（3）解：存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面PNC，
∵四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，∴BQ⊥NC．
由（1）知，PQ⊥平面ABCD，NC?平面ABCD，∴PQ⊥NC，
又BQ∩PQ=Q，∴NC⊥平面PQB，
∵NC?平面PCN，
∴平面PCN⊥平面PQB．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，考查平面与平垂直的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法和等价转化思想的合理运用．