Question

已知点P（-2，-3）和以Q为圆心的圆（x-m+1）²+（y-3m）²=4．
（1）求证：圆心Q在过点P的定直线上；
（2）当m为何值时，以PQ为直径的圆过原点？

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：计算题,证明题,直线与圆

分析：（1）求得圆心Q，令x=m-1，y=3m，消去m，即可得证；
（2）由于以PQ为直径的圆过原点，则OP⊥OQ，运用两直线垂直则斜率之积为-1，解方程，即可得到所求值．

解答： （1）证明：圆（x-m+1）²+（y-3m）²=4的圆心Q（m-1，3m），半径为2，
令x=m-1，y=3m，消去m，得，y=3（x+1），
代入P点（-2，-3）显然成立，
则圆心Q在过点P的定直线上；
（2）解：由于以PQ为直径的圆过原点，
则OP⊥OQ，
由点P（-2，-3）和Q（m-1，3m），
则有k_OP•k_OQ=-1，
即有

3

2

•

3m

m-1

=-1，
解得，m=

2

11

．
则有当m为

2

11

时，以PQ为直径的圆过原点．

点评：本题考查圆的方程和运用，考查直线和圆的位置关系，两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．