题目内容
【题目】已知定义域为的函数
是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断函数在
上的单调性,并证明你的结论.
(3)是否存在实数,对于任意
,不等式
恒成立,若存在,求出实数
的取值范围,若不存在,说明理由.
【答案】(1);
(2)为
上的减函数;
(3)
【解析】
(1)因为为
上的奇函数,所以
,代入可求
;
(2)由(1)可得,利用定义,任取
,只要说明
的符号即可判断;
(3)由不等式恒成立,及
是
上的奇函数且是
上的减函数,可得
对
恒成立.由题意可得
,
,结合二次函数的性质先求出
的最大值,即可求
的范围.
(1)因为为
上的奇函数,所以
,
,
;
(2)为
上的减函数.
任取,
,
,
,
,
,
,所以
为
上的减函数.
(3)若不等式恒成立,
,又
为
上的奇函数,
所以
又为
上的减函数,所以
对
恒成立.
即对
恒成立.
,
,
设,其对称轴为
,
时
是增函数,
所以,
所以.
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