Question

14．设函数g（x）=3^x，h（x）=9^x．
（1）解方程：h（x）-8g（x）-h（1）=0；
（2）令$p（x）=\frac{g（x）}{{g（x）+\sqrt{3}}}$，求$p（\frac{1}{2014}）+p（\frac{2}{2014}）+…+p（\frac{2012}{2014}）+p（\frac{2013}{2014}）$的值；
（3）若$f（x）=\frac{g（x+1）+a}{g（x）+b}$是实数集R上的奇函数，且f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系，解指数方程即可．
（2）根据函数关系，得到p（x）+p（1-x）=1是个常数，进行计算即可．
（3）根据函数的奇偶性求出函数f（x）的不等式，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式恒成立进行转化求解即可．

解答 解：（1）h（x）-8g（x）-h（1）=0即：9^x-8•3^x-9=0，解得3^x=9，x=2
（2）$p（\frac{1007}{2014}）=p（\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}$．
因为$p（x）+p（1-x）=\frac{3^x}{{{3^x}+\sqrt{3}}}+\frac{{{3^{1-x}}}}{{{3^{1-x}}+\sqrt{3}}}=\frac{3^x}{{{3^x}+\sqrt{3}}}+\frac{{\sqrt{3}}}{{{3^x}+\sqrt{3}}}=1$，
所以，$p（\frac{1}{2014}）+p（\frac{2}{2014}）+…+p（\frac{2013}{2014}）=1006+\frac{1}{2}=\frac{2013}{2}$，
（3）因为$f（x）=\frac{ϕ（x+1）+a}{ϕ（x）+b}$是实数集上的奇函数，
所以a=-3，b=1.$f（x）=3（1-\frac{2}{{{3^x}+1}}）$，f（x）在实数集上单调递增．
由f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0得f（h（x）-1）＞-f（2-k•g（x）），
又因为f（x）是实数集上的奇函数，所以，f（h（x）-1）＞f（k•g（x）-2），
又因为f（x）在实数集上单调递增，所以h（x）-1＞k•g（x）-2
即3^2x-1＞k•3^x-2对任意的x∈R都成立，
即$k＜{3^x}+\frac{1}{3^x}$对任意的x∈R都成立，k＜2．

点评 本题主要考查函数值的计算，指数方程的求解，以及不等式恒成立问题，利用函数奇偶性和单调性的定义和性质进行转换是解决本题的关键．