Question

(12分)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点.
（Ⅰ）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（Ⅱ）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

Answer 1

（1）见解析
（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”该命题是假命题.

解析试题分析：(I)直线方程与抛物线方程联立，消去x后利用韦达定理判断=x₁x₂+y₁y₂=的值是否为3，从而确定此命题是否为真命题.
(II)根据四种命题之间的关系写出该命题的逆命题，然后再利用直线与抛物线的位置关系知识来判断其真假.
证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y²=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).
当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于
A(3,)、B(3,－)，∴=3.
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.
得ky²－2y－6k=0,则y₁y₂=－6. 又∵x₁=y₁², x₂=y₂², 
∴=x₁x₂+y₁y₂=="3." 综上所述, 命题“......”是真命题.
解法二：设直线l的方程为my=x－3与y²="2x" 联立得到y²-2my-6=0   =x₁x₂+y₁y₂
=(my₁+3) (my₂+3)+ y₁y₂=(m²+1) y₁y₂+3m(y₁+y₂)+9=(m²+1)× (-6)+3m×2m+9＝3
（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”该命题是假命题.  例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,
直线AB的方程为y= (x+1),而T(3,0)不在直线AB上.
考点：四种命题之间的关系，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积.
点评：本小题本质是以四种命题的关系为知识载体主要考查直线与抛物线的位置关系.由抛物线y²=2x上的点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)满足,可得y₁y₂=－6.或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y₁y₂="2," 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).