Question

（2012•青岛一模）已知点M在椭圆D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点，若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为

2 6

3

的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆D上的一点，过点P的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点Q，若

QP

=2

PF

，求直线l的斜率；
（Ⅲ）过点G（0，-2）作直线GK与椭圆N：

3x2

a2

+

4y2

b2

=1左半部分交于H，K两点，又过椭圆N的右焦点F₁做平行于HK的直线交椭圆N于R，S两点，试判断满足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直线GK是否存在？请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定M的坐标，代入椭圆方程，再利用a²-b²=c²，求出几何量，即可求椭圆D的方程；
（Ⅱ）设出过点P的直线l，利用

QP

=2

PF

，求得P的坐标，代入椭圆方程，即可求直线l的斜率；
（Ⅲ）设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）因为△ABM是边长为

2 6

3

的正三角形
所以圆M的半径r=

2 6

3

，M到y轴的距离为d=

3

2

r=

2

，即椭圆的半焦距c=d=

2

此时点M的坐标为(

2

，

2 6

3

)…（2分）
因为点M在椭圆D：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上
所以

( 2 )2

a2

+

( 2 6 3 )2

b2

=1
又a²-b²=c²=2
解得：a²=6，b²=4
所求椭圆D的方程为

x2

6

+

y2

4

=1…（4分）
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k
直线l的方程为y=k（x+1），则有Q（0，k）
设P（x₁，y₁），由于P、Q、F三点共线，且

QP

=2

PF

根据题意得（x₁，y₁-k）=2（-x₁-1，-y₁），解得

x1=- 2 3 y1= k 3

…（6分）
又P在椭圆D上，故

(- 2 3 )2

6

+

( k 3 )2

4

=1
解得k=±

10 3

3

综上，直线l的斜率为k=±

10 3

3

．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得：椭圆N的方程为

x2

2

+y2=1…①，
由于F₁（1，0），设直线GK的方程为y=kx-2（k＜0）…②，
则直线RS的方程为y=k（x-1）（k＜0）…③
设H（x₃，y₃），K（x₄，y₄）
联立①②消元得：（1+2k²）x²-8kx+6=0，所以x3x4=

6

1+2k2

所以|GH|•|GK|=

x 2 3 +(y3+2)2

•

x 2 4 +(y4+2)2

=

x 2 3 +(kx3)2

•

x 2 4 +(kx4)2

=

6(1+k2)

1+2k2

…（10分）
设R（x₅，y₅），S（x₆，y₆）
联立①③消元得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
所以x5+x6=

4k2

1+2k2

，x5x6=

2(k2-1)

1+2k2

y5y6=k2[x5x6-(x5+x6)+1]=

-k2

1+2k2

3|RF1|•|F1S|=3

(x5-1)2+ y 2 5

•

(x6-1)2+ y 2 6

=3

y 2 5 +( y5 k )2

•

y 2 6 +( y6 k )2

=

3(1+k2)

1+2k2

…（13分）
由

6(1+k2)

1+2k2

=

3(1+k2)

1+2k2

，化简得：k²+1=0，显然无解，
所以满足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直线GK不存在．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．