Question

设函数y=f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象在x=0处的切线方程为24x+y-12=0．
（Ⅰ）求c，d；
（Ⅱ）若函数在x=2处取得极值-16，试求函数解析式并确定函数的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对函数求导f'（x）=3ax²+2bx+c，由题意可得f'（0）=-24，f（0）=12，代入可求c，d
（Ⅱ）由已知得：

f(2)=16 f′(2)=0

，代入可求a，b，然后代入到f'（x），由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0可分别求函数f（x）的单调增区间，单调减区间

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3ax²+2bx+c，
∴f'（0）=c；-----------------（1分）
∵切线24x+y-12=0的斜率为k=-24，∴c=-24；-----------------（2分）
把x=0代入24x+y-12=0得y=12，∴P（0，12），-----------------（3分）
∴d=12．
∴c=-24，d=12．-----------------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=ax³+bx²-24x+12
由已知得：

f(2)=16 f′(2)=0

⇒

8a+4b-36=-16 12a+4b-24=0

∴

a=1 b=3

-----------------（5分）
∴f（x）=x³+3x²-24x+12
∴f'（x）=3x²+6x-24=3（x²+2x-8）=3（x+4）（x-2）-----------------（6分）
由f'（x）＞0得，x＜-4或x＞2；
由f'（x）＜0得，-4＜x＜2；-----------------（7分）
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-4），（2，+∞）；
单调减区间为（-4，2）．-----------------（8分）

点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用：由切线的斜率求解函数在一点处的导数值，导数在函数极值求解、单调区间的求解中的应用，属于函数的导数知识的综合应用．