Question

【题目】某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（1）记“函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z

依题意得 ，解得

若函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数，则ξ=0

当ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．

∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1﹣x）（1﹣y）（1﹣z）

=0.4×0.5×0.6+（1﹣0.4）（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.24

∴事件A的概率为0.24

（2）解：依题意知ξ的取值为0和2由（1）所求可知

P（ξ=0）=0.24

P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）=0.76

则ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52

【解析】（1）由于学生是否选修哪门课互不影响，利用相互独立事件同时发生的概率解出学生选修甲、乙、丙的概率，由题意得到ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选，根据互斥事件的概率公式得到结果．（2）用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，所以变量的取值是0或2，结合第一问解出概率，写出分布列，算出期望．
【考点精析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．