题目内容
3.已知奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则不等式(x-1)•f(x)<0的解集为{x|0<x<1或x<-2或x>2}.分析 根据函数奇偶性和单调性的定义进行求解即可.
解答 解:∵奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,
∴f(-2)=-f(2)=0,
且函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,
则f(x)对应的图象如图:
不等式(x-1)•f(x)<0等价为:
①$\left\{\begin{array}{l}{x-1>0}\\{f(x)<0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{x>1}\\{-2<x<0或x>2}\end{array}\right.$,
∴x>2.
②$\left\{\begin{array}{l}{x-1<0}\\{f(x)>0}\end{array}\right.$,∴$\left\{\begin{array}{l}{x<1}\\{0<x<2或x<-2}\end{array}\right.$,
∴0<x<1或x<-2,
综上不等式的解0<x<1或x<-2或x>2.
综上:解集为{x|0<x<1或x<-2或x>2}.
故答案为:{x|0<x<1或x<-2或x>2}.
点评 本题主要考查不等式的求解,根据函数的奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键.
练习册系列答案
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A. | (-∞,1)∪(1,+∞) | B. | (-∞,0)∪(0,+∞) | C. | (-∞,0),(0,+∞) | D. | (-∞,1),(1,+∞) |