题目内容
已知函数f(x)=sin2x+2| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求f（x）在(-
| π |
| 12 |
| 25π |
| 36 |
分析：（1）由题意可得：f（x）=2sin(2x-
)，所以函数f（x）的最小正周期为：T=
=π．利用整体思想结合正弦函数的单调性可得kπ+
≤x≤kπ+
(k∈Z)．
（2）当x∈(-
，
)时，利用整体思想可得2x-
∈(-
，
)，进而得到f（x）在(-
，
)上的值域．
| π |
| 6 |
| 2π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
（2）当x∈(-
| π |
| 12 |
| 25π |
| 36 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 11π |
| 9 |
| π |
| 12 |
| 25π |
| 36 |
解答：解：（1）由题意可得：f(x)=sin2x+2
sin(x+
)cos(x-
)-cos2x-
=2
sin2(x+
)-cos2x-
=
sin2x-cos2x
=2sin(2x-
)
所以函数f（x）的最小正周期为：T=
=π
因为令2kπ+
≤2x-
≤2kπ+
，k∈Z，
所以可得kπ+
≤x≤kπ+
(k∈Z)．
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
](k∈Z)．
（2）当x∈(-
，
)时，所以2x-
∈(-
，
)，
所以sin(2x-
)∈(-
，1]．
所以f（x）在(-
，
)上的值域是(-
，2]．
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
=2
| 3 |
| π |
| 4 |
| 3 |
=
| 3 |
=2sin(2x-
| π |
| 6 |
所以函数f（x）的最小正周期为：T=
| 2π |
| 2 |
因为令2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
所以可得kπ+
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
（2）当x∈(-
| π |
| 12 |
| 25π |
| 36 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 11π |
| 9 |
所以sin(2x-
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
所以f（x）在(-
| π |
| 12 |
| 25π |
| 36 |
| 3 |
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式与两角和（差）的正余弦公式，以及掌握正弦函数的有关性质，注意在解决此部分问题时常用的思想是整体思想．
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