Question

6．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按〔0，10〕，（10，20〕，（20，30〕，（30，40〕，（40，50〕分组，得到频率分布直方图如下：

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．
（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s₁²，s₂²，试比s₁²，s₂²的大小；（只需写出结论）
（Ⅱ）若X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由各小矩形面积和为1，先求出a，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，由此能比s₁²，s₂²的大小．
（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望EX．

解答 解：（Ⅰ）由各小矩形面积和为1，
得（0.010+a+0.020+0.025+0.030）×10=1，
解得a=0.015，
由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在20-30箱，
故s₁²＞s₂²．
（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=${C}_{3}^{0}×0．{3}^{0}×0．{7}^{3}$=0.343，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}×0.3×0．{7}^{2}$=0.441，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×0．{3}^{2}×0.7$=0.189，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}×0．{3}^{3}×0．{7}^{0}$=0.027，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

∴X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．

点评 本题考查频率分布直方图的性质的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．