Question

已知A、B、C是锐角，求证：cosA+cosB+cosC=1+4sin

A

2

sin

B

2

sin

C

2

的充要条件是A+B+C=π．

Answer 1

分析：由题意，等式左边是和的形式，右边是乘积形式，故左边用和差化积公式，右边用积化和差公式，两边出现共同角

A+B

2

和

A-B

2

，
再提取公因式即可．

解答：解：cosA+cosB+cosC=1+4sin

A

2

sin

B

2

sin

C

2

?2cos

A+B

2

cos

A-B

2

=2sin2

C

2

+2sin

C

2

(-cos

A+B

2

+cos

A-B

2

)
?cos

A+B

2

cos

A-B

2

=sin2

C

2

-sin

C

2

cos

A+B

2

+sin

C

2

cos

A-B

2

?0=sin

C

2

(sin

C

2

-cos

A+B

2

)+(sin

C

2

-cos

A+B

2

)cos

A-B

2

?0=(sin

C

2

-cos

A+B

2

)(sin

C

2

+cos

A-B

2

)
∵A、B、C是锐角，∴sin

C

2

+cos

A-B

2

＞0
所以上式?0=sin

C

2

-cos

A+B

2

?

C

2

+

A+B

2

=

π

2

?A+B+C=π

点评：本题考查三角恒等变形：和差化积、积化和差公式、二倍角公式、诱导公式等，考查对公式的综合运用能力．