题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0,y>0)
的离心率为
3
2
,A、B为它的左、右焦点,过一定点N(1,0)任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q,且|
PA
+
PB
|的最小值为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线NP、NQ,使得向量
PA
+
PB
QA
+
QB
互相垂直?若存在,求出点P、Q的横坐标,若不存在,请说明理由.
分析:(1)设O为坐标原点,易知PO为△PAB的中线,从而可得|
PA
+
PB
|=2|
PO
|
,易知当点P在短轴上定点时|
PA
+
PB
|
取得最小值2,由此可求得b值,再由离心率及a2=b2+c2可求得a;
(2)易知直线NP,NQ斜率均存在,设两直线方程分别为:LNP:y=k(x-1),LNQ:y=-
1
k
(x-1)
,由
PA
+
PB
=2
PO
QA
+
QB
=2
QO
(O为原点),知只需满足
OP
OQ
即可,由KOPKOQ=
k(xP-1)
xP
-
1
k
(xQ-1)
xQ
=-1,可得xP+xQ=1①,根据点P、Q在椭圆上得,KOPKOQ=
4-xP2
2xP
4-xQ2
2xQ
=-1,联立①可得xPxQ=-
2
3
②,可判断①②构成方程组有解,从而可得结论;
解答:解:(1)设O为坐标原点,则PO为△PAB的中线,
PA
+
PB
=2
PO
|
PA
+
PB
|=2|
PO
|

因此,当P在短轴上顶点时,|
PA
+
PB
|
取得最小值2,即2b=2,解得b=1,
依题意得:
c
a
=
3
2
,即
a2-b2
a
=
3
2
,即
a2-1
a
=
3
2
,∴a2=4,
∴椭圆C的方程为:
x2
4
+y2=1(y>0)

(2)由题意知直线NP,NQ斜率均存在,设为KNP=k,KNQ=-
1
k

则此两直线方程分别为:LNP:y=k(x-1),LNQ:y=-
1
k
(x-1)

PA
+
PB
=2
PO
QA
+
QB
=2
QO
(O为原点),因此,只要满足
OP
OQ
即可,
KOPKOQ=
k(xP-1)
xP
-
1
k
(xQ-1)
xQ
=-1,化简为:xP+xQ=1,
由半椭圆方程得:yP=
4-xP2
2
yQ=
4-xQ2
2
,则KOPKOQ=
4-xP2
2xP
4-xQ2
2xQ
=-1,即
16-4(xP2+xQ2)+xP2xQ2
=-4xPxQ
令xPxQ=t≤0且xP+xQ=1,故
16-4(1-2t)+t2
=-4t

化简为:15t2-8t-12=0,解得t=-
2
3
或t=
6
5
(舍去),∴
xP+xQ=1
xPxQ=-
2
3

解之得:
xP=
3+
33
6
xQ=
3-
33
6
xP=
3-
33
6
xQ=
3+
33
6

因此,直线NP、NQ能使得
PA
+
PB
QA
+
QB
互相垂直.
点评:本题考查椭圆的标准方程、直线斜率及其方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生对问题的探究能力及解决问题的能力.
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