题目内容
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0,y>0)的离心率为
,A、B为它的左、右焦点,过一定点N(1,0)任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q,且|
+
|的最小值为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线NP、NQ,使得向量
+
与
+
互相垂直?若存在,求出点P、Q的横坐标,若不存在,请说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
PA |
PB |
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线NP、NQ,使得向量
PA |
PB |
QA |
QB |
分析:(1)设O为坐标原点,易知PO为△PAB的中线,从而可得|
+
|=2|
|,易知当点P在短轴上定点时|
+
|取得最小值2,由此可求得b值,再由离心率及a2=b2+c2可求得a;
(2)易知直线NP,NQ斜率均存在,设两直线方程分别为:LNP:y=k(x-1),LNQ:y=-
(x-1),由
+
=2
,
+
=2
(O为原点),知只需满足
⊥
即可,由KOP•KOQ=
•
=-1,可得xP+xQ=1①,根据点P、Q在椭圆上得,KOP•KOQ=
•
=-1,联立①可得xPxQ=-
②,可判断①②构成方程组有解,从而可得结论;
PA |
PB |
PO |
PA |
PB |
(2)易知直线NP,NQ斜率均存在,设两直线方程分别为:LNP:y=k(x-1),LNQ:y=-
1 |
k |
PA |
PB |
PO |
QA |
QB |
QO |
OP |
OQ |
k(xP-1) |
xP |
-
| ||
xQ |
| ||
2xP |
| ||
2xQ |
2 |
3 |
解答:解:(1)设O为坐标原点,则PO为△PAB的中线,
∴
+
=2
,|
+
|=2|
|,
因此,当P在短轴上顶点时,|
+
|取得最小值2,即2b=2,解得b=1,
依题意得:
=
,即
=
,即
=
,∴a2=4,
∴椭圆C的方程为:
+y2=1(y>0);
(2)由题意知直线NP,NQ斜率均存在,设为KNP=k,KNQ=-
,
则此两直线方程分别为:LNP:y=k(x-1),LNQ:y=-
(x-1),
又
+
=2
,
+
=2
(O为原点),因此,只要满足
⊥
即可,
故KOP•KOQ=
•
=-1,化简为:xP+xQ=1,
由半椭圆方程得:yP=
,yQ=
,则KOP•KOQ=
•
=-1,即
=-4xPxQ,
令xPxQ=t≤0且xP+xQ=1,故
=-4t,
化简为:15t2-8t-12=0,解得t=-
或t=
(舍去),∴
,
解之得:
或
,
因此,直线NP、NQ能使得
+
与
+
互相垂直.
∴
PA |
PB |
PO |
PA |
PB |
PO |
因此,当P在短轴上顶点时,|
PA |
PB |
依题意得:
c |
a |
| ||
2 |
| ||
a |
| ||
2 |
| ||
a |
| ||
2 |
∴椭圆C的方程为:
x2 |
4 |
(2)由题意知直线NP,NQ斜率均存在,设为KNP=k,KNQ=-
1 |
k |
则此两直线方程分别为:LNP:y=k(x-1),LNQ:y=-
1 |
k |
又
PA |
PB |
PO |
QA |
QB |
QO |
OP |
OQ |
故KOP•KOQ=
k(xP-1) |
xP |
-
| ||
xQ |
由半椭圆方程得:yP=
| ||
2 |
| ||
2 |
| ||
2xP |
| ||
2xQ |
16-4(xP2+xQ2)+xP2xQ2 |
令xPxQ=t≤0且xP+xQ=1,故
16-4(1-2t)+t2 |
化简为:15t2-8t-12=0,解得t=-
2 |
3 |
6 |
5 |
|
解之得:
|
|
因此,直线NP、NQ能使得
PA |
PB |
QA |
QB |
点评:本题考查椭圆的标准方程、直线斜率及其方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生对问题的探究能力及解决问题的能力.

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