题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0，y＞0)的离心率为
，A、B为它的左、右焦点，过一定点N（1，0）任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q，且|
+
|的最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线NP、NQ，使得向量
+
与
+
互相垂直？若存在，求出点P、Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| PA |
| PB |
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线NP、NQ，使得向量
| PA |
| PB |
| QA |
| QB |
分析：（1）设O为坐标原点，易知PO为△PAB的中线，从而可得|
+
|=2|
|，易知当点P在短轴上定点时|
+
|取得最小值2，由此可求得b值，再由离心率及a2=b2+c2可求得a；
（2）易知直线NP，NQ斜率均存在，设两直线方程分别为：LNP：y=k（x-1），LNQ：y=-
(x-1)，由
+
=2
，
+
=2
（O为原点），知只需满足
⊥
即可，由KOP•KOQ=
•
=-1，可得xP+xQ=1①，根据点P、Q在椭圆上得，KOP•KOQ=
•
=-1，联立①可得xPxQ=-
②，可判断①②构成方程组有解，从而可得结论；
| PA |
| PB |
| PO |
| PA |
| PB |
（2）易知直线NP，NQ斜率均存在，设两直线方程分别为：LNP：y=k（x-1），LNQ：y=-
| 1 |
| k |
| PA |
| PB |
| PO |
| QA |
| QB |
| QO |
| OP |
| OQ |
| k(xP-1) |
| xP |
-
| ||
| xQ |
| ||
| 2xP |
| ||
| 2xQ |
| 2 |
| 3 |
解答：解：（1）设O为坐标原点，则PO为△PAB的中线，
∴
+
=2
，|
+
|=2|
|，
因此，当P在短轴上顶点时，|
+
|取得最小值2，即2b=2，解得b=1，
依题意得：
=
，即
=
，即
=
，∴a2=4，
∴椭圆C的方程为：
+y2=1(y＞0)；
（2）由题意知直线NP，NQ斜率均存在，设为KNP=k，KNQ=-
，
则此两直线方程分别为：LNP：y=k（x-1），LNQ：y=-
(x-1)，
又
+
=2
，
+
=2
（O为原点），因此，只要满足
⊥
即可，
故KOP•KOQ=
•
=-1，化简为：xP+xQ=1，
由半椭圆方程得：yP=
，yQ=
，则KOP•KOQ=
•
=-1，即
=-4xPxQ，
令xPxQ=t≤0且xP+xQ=1，故
=-4t，
化简为：15t2-8t-12=0，解得t=-
或t=
（舍去），∴
，
解之得：
或
，
因此，直线NP、NQ能使得
+
与
+
互相垂直．
∴
| PA |
| PB |
| PO |
| PA |
| PB |
| PO |
因此，当P在短轴上顶点时，|
| PA |
| PB |
依题意得：
| c |
| a |
| ||
| 2 |
| ||
| a |
| ||
| 2 |
| ||
| a |
| ||
| 2 |
∴椭圆C的方程为：
| x2 |
| 4 |
（2）由题意知直线NP，NQ斜率均存在，设为KNP=k，KNQ=-
| 1 |
| k |
则此两直线方程分别为：LNP：y=k（x-1），LNQ：y=-
| 1 |
| k |
又
| PA |
| PB |
| PO |
| QA |
| QB |
| QO |
| OP |
| OQ |
故KOP•KOQ=
| k(xP-1) |
| xP |
-
| ||
| xQ |
由半椭圆方程得：yP=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2xP |
| ||
| 2xQ |
| 16-4(xP2+xQ2)+xP2xQ2 |
令xPxQ=t≤0且xP+xQ=1，故
| 16-4(1-2t)+t2 |
化简为：15t2-8t-12=0，解得t=-
| 2 |
| 3 |
| 6 |
| 5 |
|
解之得：
|
|
因此，直线NP、NQ能使得
| PA |
| PB |
| QA |
| QB |
点评：本题考查椭圆的标准方程、直线斜率及其方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生对问题的探究能力及解决问题的能力．
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