Question

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）与f（-1）的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）若x＞1时，f（x）＞0，求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（4）在（3）的条件下，若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．

Answer 1

（1）令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=f（1）=0，解得f（-1）=0．
（2）令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），定义域关于原点对称可得f（x）是偶函数．
（3）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，f(

x2

x1

)＞0，
则f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＞f(x1)，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（4）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
由f（3x+1）≤2变形为f（3x+1）≤f（16）．
∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）=f（|x|），在（3）的条件下有f[|3x+1|]≤f（16）
∴|3x+1|≤16且3x+1≠0，解得x∈[-

17

3

，-

1

3

)∪(-

1

3

，5]．