题目内容
【题目】已知椭圆,,过椭圆
的右顶点和上顶点的直线
与圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
的上顶点, 过点
分别作直线
交椭圆
于
两点, 设这两条直线的斜率分别为
,且
,证明: 直线
过定点
【答案】(1)(2)详见解析
【解析】
试题分析:(1)根据两点式可得直线的方程为
,再根据切线与圆位置关系得
,解得
(2)直线过定点问题,一般通过解直线方程,根据直线方程特征求定点:先考虑直线斜率存在的情形,
,即将问题转化为确定
的关系,而
,可利用点的坐标进行转化
即
,再根据直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理代入化简得
,最后根据点斜式或方程恒成立理论求定点,直线斜率不存在的情形可代入验证
试题解析:(1)直线
过点
和
直线
的方程为
,
直线
与圆
相切,
, 解得
椭圆
的方程为
.
(2)当直线的斜率不存在时, 设
,则
,由
得
,
得.当直线
的斜率存在时, 设
的方程
,
,
,得
,
即,
由,即
,
故直线过定点
.
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