Question

【题目】设函数f(x)＝(x＋1)ln x－2x.

(1)求函数的单调区间；

(2)设h(x)＝f′(x)＋，若h(x)>k(k∈Z)恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）在(0，＋∞)上单调递增．（2）0

【解析】(1)函数的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝ln x＋－1，不妨令g(x)＝ln x＋－1，g′(x)＝－＝，

当x>1 ，g′(x)>0，函数g(x)＝f′(x)单调递增，又因为f′(x)>f′(1)＝0，所以x>1，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当0<x<1，g′(x)<0，g(x)＝f′(x)单调递减，

又因为f′(x)>f′(1)＝0，所以0<x<1，f′(x)>0.

函数f(x)单调递增．

所以函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(2)h(x)＝ln x＋－1＋，h′(x)＝－－＝，设φ(x)＝xex－ex－x2，φ′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，当x∈(0，ln 2)，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减，

又因为φ(x)<φ(0)＝－1<0，所以0<x<ln 2，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．

当x∈(ln 2，＋∞)，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增，又因为φ(x)>φ(ln 2)＝2ln 2－2－(ln 2)2，又φ(1)＝－1<0，φ(2)＝e2－4>0，故存在x0∈(1,2)，使得φ(x)＝0，即x0ex0－ex0－＝0，在(0，x0)上，φ(x)<0，在(x0，＋∞)上，φ(x)>0.

即h(x)在(0，x0)上递减，在(x0，＋∞)上递增．

所以有h(x)≥h(x0)＝ln x0＋－1＋，又＝－，所以h(x)≥h(x0)＝ln x0＋－1＋＝ln x0＋－－1，不妨令M(x)＝ln x＋－－1，当x∈(1,2)时，M′(x)＝.

M′(x)＝＝>0恒成立，所以，M(x)是单增函数，又M(1)＝0，M(2)＝ln 2－<1，

所以有1>h(x0)＝ln x0＋－－1>0.

所以k≤0，所以k的最大值为0.