题目内容
设椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴上有一点B，满足AB⊥AF2且F1为BF2的中点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线
相切，判断椭圆C和直线l的位置关系．
解：（Ⅰ）由题意知F1（-c，0），F2（c，0），A（0，b）．
因为AB⊥AF2，所以在Rt△ABF2中，
．…（2分）
又因为F1为BF2的中点，所以
，…（4分）
又a2=b2+c2，所以a=2c．
故椭圆的离心率
．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，于是
，
，Rt△ABF2的外接圆圆心为
，半径r=a．…（8分）
所以
，解得a=2，所以c=1，
．
所以椭圆的标准方程为：
．…（11分）
由
得：13x2-24x=0，
∴可得△＞0，所以直线和椭圆相交．…（13分）
分析：（Ⅰ）利用AB⊥AF2且F1为BF2的中点，可得a，c的关系，从而可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先求出椭圆的方程，再与直线方程联立，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．
因为AB⊥AF2，所以在Rt△ABF2中，
．…（2分）又因为F1为BF2的中点，所以
，…（4分）又a2=b2+c2，所以a=2c．
故椭圆的离心率
．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，于是，，Rt△ABF2的外接圆圆心为，半径r=a．…（8分）所以
，解得a=2，所以c=1，．所以椭圆的标准方程为：
．…（11分）由
得：13x2-24x=0，∴可得△＞0，所以直线和椭圆相交．…（13分）
分析：（Ⅰ）利用AB⊥AF2且F1为BF2的中点，可得a，c的关系，从而可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先求出椭圆的方程，再与直线方程联立，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
的左、右焦点分别是
、
，离心率
，右准线
上的两动点
、
，且
．
，求
、
的值；
最小时，求证
与
共线．
的离心率
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。（I）求a与b；（II）设椭圆的左，右焦点分别是F1和F2，直线
且与x轴垂直，动直线
轴垂直，
于点P，求线段PF1的垂直平分线与
的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。
的左、右焦点分别是F1、F2，离心率
，右准线l上的两动点M、N，且
，
，求a、b的值；
最小时，求证
与
共线。 
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．