题目内容

设椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴上有一点B，满足AB⊥AF₂且F₁为BF₂的中点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线 $数学公式$ 相切，判断椭圆C和直线l的位置关系．

解：（Ⅰ）由题意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b）．
因为AB⊥AF₂，所以在Rt△ABF₂中， $\text{[math]}$ ．…（2分）
又因为F₁为BF₂的中点，所以 $\text{[math]}$ ，…（4分）
又a²=b²+c²，所以a=2c．
故椭圆的离心率 $\text{[math]}$ ．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $\text{[math]}$ ，于是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，Rt△ABF₂的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ ，半径r=a．…（8分）
所以 $\text{[math]}$ ，解得a=2，所以c=1， $\text{[math]}$ ．
所以椭圆的标准方程为： $\text{[math]}$ ．…（11分）
由 $\text{[math]}$ 得：13x²-24x=0，
∴可得△＞0，所以直线和椭圆相交．…（13分）
分析：（Ⅰ）利用AB⊥AF₂且F₁为BF₂的中点，可得a，c的关系，从而可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先求出椭圆的方程，再与直线方程联立，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．