题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点且斜率大于0的直线与椭圆相交于点 ,直线 轴相交于 两点,求的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】试题分析:(1)运用椭圆的离心率公式的关系,以及点在椭圆上,列出方程;(2)设直线的方程为,联立椭圆方程,消去得,由判别式大于零,运用韦达定理,再将表示为关于的函数式,分离常数,进而可得结果.

试题解析:(1)椭圆的离心率为,所以

过点,则

椭圆的方程为.

(2)设直线的方程为

直线的方程为,可得,即

直线的方程为,可得,即.

联立,消去,整理得.

,可得

因为 ,所以,因此,即

的取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求范围问题,属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,单调性法求的范围的.

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