Question

【题目】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、AD的中点．
（1）求证：EF平行平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1
（3）求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵E、F分别为棱AB、AD的中点，∴EF∥BD，
∵BD∥B1D1 ， ∴EF∥B1D1 ，
∵EF平面CB1D1 ， B1D1平面CB1D1 ，
∴EF∥平面CB1D1 ．
（2）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形A1B1C1D1是正方形，
∴B1D1⊥A1C1 ， AA1⊥B1D1 ，
∵AA1∩A1C1=A1 ， B1D1⊥平面CAA1C1 ，
∴B1D1平面A1B1C1D1 ，
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ．
解：（3）∵AA1⊥底面ABCD，
∴∠A1CA是直线A1C与平面ABCD所成角，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，
则AA1=a，AC==a，
tan∠A1CA===．
∴直线A1C与平面ABCD所成角的正切值为．
【解析】（1）推导出EF∥BD，BD∥B1D1 ， 从而EF∥B1D1 ， 由此能证明EF∥平面CB1D1 ．
（2）推导出B1D1⊥A1C1 ， AA1⊥B1D1 ， 由此能证明平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ．
（3）由AA1⊥底面ABCD，得∠A1CA是直线A1C与平面ABCD所成角，由此能求出直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．