Question

(12分) 已知四棱锥，底面ABCD，其三视图如下，若M是PD的中点

⑴ 求证：PB//平面MAC；
⑵ 求直线PC与平面MAC所成角的正弦值。

Answer 1

⑴以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A—xyz，
PB//平面MAC ⑵

试题分析：由三视图知，四棱锥的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD且PA=2，如图，以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A—xyz

则

⑴ ……①

而平面MAC，PB//平面MAC……5分
⑵ 设平面MAC的一个法向量为
则
由①知
，令，则


设PC与平面MAC所成的角为，
则
∴直线PC与平面MAC所成角的正弦值为……12分
点评：本题先要由三视图还原出直观图，并找到对应的边长，结合直观图的特点采用空间向量的方法计算证明较简单，线面角的计算公式其中是直线的方向向量，是直线的法向量