Question

【题目】已知函数

（I）讨论函数的单调性；

（II）设.如果对任意，，求的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；

当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；

当－1＜a＜0时，f(x)在（0,）单调增加，在（，+）

（2）a≤－2

【解析】

(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.

当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；

当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；

当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0,)时,＞0；

x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0,）单调增加，在（，+）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.

所以等价于

≥4x1－4x2,，即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.

令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.

于是≤＝≤0.

从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，

即f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.