Question

已知抛物线C的方程为x²=4y，直线y=2与抛物线C相交于M，N两点，点A，B在抛物线C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为定值；
（Ⅱ）若直线AB的斜率为

2

，且点N到直线MA，MB的距离的和为8，试判断△MAB的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AM的斜率为k，由∠BMN=∠AMN，知直线BM的斜率为-k，所以直线AM的方程为y=k(x+2

2

)-2，由此能够证明直线AB的斜率为定值．
（Ⅱ）若直线AB的斜率为

2

，由x1=4kAM+2

2

，x2=4kBM+2

2

，知k_AM+k_BM=0，∠BMN=∠AMN，由点N到直线MA，MB的距离的和为8，知点N到直线MA，MB的距离均为4，由此能得到△MAB是直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AM的斜率为k，
∵∠BMN=∠AMN，所以直线BM的斜率为-k，
可求得M(-2

2

，2)，N(2

2

，2)，则直线AM的方程为y=k(x+2

2

)-2，
代入x²=4y得x2-4kx-8

2

k-8=0，
∵xAx1=-8

2

k-8∴x1=4k+2

2

，
同理x2=-4k+2

2

，kAB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

2

．（5分）
（Ⅱ）若直线AB的斜率为

2

，由（1）可得：x1=4kAM+2

2

，x2=4kBM+2

2

，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

4(kAM+kBM)+4 2

4

=

2

，
∴k_AM+k_BM=0，
∴∠BMN=∠AMN，（8分）
又点N到直线MA，MB的距离的和为8，
所以点N到直线MA，MB的距离均为4，
∵MN=4

2

，
∴∠BMN=∠AMN=45°，
所以△MAB是直角三角形．   （10分）

点评：本题考查直线和抛物线的综合运用，解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用，合理地进行等价转化．