题目内容
已知抛物线C的方程为y=x2，过（0，1）点的直线l与C相交于点A，B，证明：OA⊥OB（O为坐标原点）
分析：由题意设出直线l的方程，和抛物线联立后化为关于x的一元二次方程，由韦达定理得到A，B两点的横坐标的积，
代入x1x2+y1y2中整理得到结果为0，所以结论得证．
代入x1x2+y1y2中整理得到结果为0，所以结论得证．
解答：证明：由题意可知直线l的斜率存在，
设其斜率为k，则直线方程为：y=kx+1，
与抛物线方程联立，得
，即x2-kx-1=0，所以x1x2=-1．
设交点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由OA⊥OB?x1x2+y1y2=0?x1x2+x12x22=0?x1x2+1=0
由韦达定理可知此式成立．
所以OA⊥OB．
设其斜率为k，则直线方程为：y=kx+1，
与抛物线方程联立，得
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设交点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由OA⊥OB?x1x2+y1y2=0?x1x2+x12x22=0?x1x2+1=0
由韦达定理可知此式成立．
所以OA⊥OB．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了一元二次方程的根与系数关系，求证该题的关键是明确
OA⊥OB?x1x2+y1y2=0，是中档题．
OA⊥OB?x1x2+y1y2=0，是中档题．
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