Question

（2013•浙江模拟）已知抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛物线C准线的右侧．
（Ⅰ）求证：直线与抛物线C恒有两个不同交点；
（Ⅱ）已知定点A（1，0），若直线与抛物线C的交点为Q，R，满足

AQ

•

AR

=0，是否存在实数m，使得原点O到直线的距离不大于

2

4

，若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立x+y=m与y²=2px，证明△＞0，即可得到直线l与抛物线C恒有两个不同交点；    
（Ⅱ）根据

AQ

•

AR

=0，结合韦达定理，求出p的表达式，利用原点O到直线l的距离不大于

2

4

，确定m的范围，由此可得正实数p的取值范围．

解答：（Ⅰ）证明：由题知m＞-

p

2

，
联立x+y=m与y²=2px，消去x可得y²+2py-2pm=0…（*）
∵p＞0且m＞-

p

2

，∴△=4p²+8pm＞0，
所以直线l与抛物线C恒有两个不同交点；                                 …4分
（Ⅱ）解：设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），由（*）可得y₁+y₂=-2p，y₁•y₂=-2pm
故

AQ

•

AR

=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2

=(m-1-y1)(m-1-y2)+y1y2

=2y₁y₂+（1-m）（y₁+y₂）+（m-1）²=m²-（2+2p）m+1-2p=0
∴p=

(m-1)2

2(m+1)

=

m+1

2

+

2

m+1

-2
又由原点O到直线l的距离不大于

2

4

，则有-

1

2

≤m≤

1

2

，
由（Ⅰ）有m＞-

p

2

，即m＞-

1

4

(m-1)2

m+1

，结合-

1

2

≤m≤

1

2

，化简该不等式得：5m²+2m+1＞0，恒成立，
∴-

1

2

≤m≤

1

2

，令t=m+1，则t∈[

1

2

，

3

2

]
而函数y=

t

2

+

2

t

-2在[

1

2

，

3

2

]上单调递减，∴

1

12

≤p≤

9

4

∴存在m且-

1

2

≤m≤

1

2

，实数p的取值范围为[

1

12

，

9

4

]．…10分．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查函数的单调性，确定p的表达式是关键．