设$\overrightarrow a=.\overrightarrow b=$定义一种向量积$\overrightarrow a?\overrightarrow b=?=({{x 1}{x 2}.{y 1}{y 2}})$．已知$\overrightarrow{m}$=.$\overrightarrow{n}$=.点P(x.y)在y=sinx的图象上运动.点Q在y=f(x)的图象上运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．设$\overrightarrow a=（{{x_1}，{y_1}}），\overrightarrow b=（{{x_2}，{y_2}}）$定义一种向量积$\overrightarrow a?\overrightarrow b=（{{x_1}，{y_1}}）?（{{x_2}，{y_2}}）=（{{x_1}{x_2}，{y_1}{y_2}}）$．已知$\overrightarrow{m}$=（2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{π}{3}$，0），点P（x，y）在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{n}$（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为（　　）

A．

2，π

B．

2，4π

C．

$\frac{1}{2}$，4π

D．

$\frac{1}{2}，π$

分析设Q（x，y），P（x₀，y₀），利用新定义结合已知得到关于Q、P坐标的关系，把P的坐标用Q的坐标表示，然后代入y=sinx求得函数f（x）的解析式，则答案可求．

解答解：设Q（x，y），P（x₀，y₀），
∵$\overrightarrow{m}$=（2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{π}{3}$，0），
则由$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{n}$，得
（x，y）=（$2{x}_{0}，\frac{1}{2}{y}_{0}$）+（$\frac{π}{3}，0$）=（$2{x}_{0}+\frac{π}{3}，\frac{1}{2}{y}_{0}$），
∴${x}_{0}=\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}$，y₀=2y，
代入y=sinx，得$y=\frac{1}{2}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$．
∴y=f（x）的最大值A=$\frac{1}{2}$，最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}=4π$．
故选：C．

点评本题是新定义题，考查了平面向量的坐标运算，考查了三角函数的图象和性质，是中低档题．