Question

15．已知数列{a_n}中，a₁=3，a₃=9，若b_n=log₂（a_n-1），数列{b_n}为等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：$\frac{1}{{{a_2}-{a_1}}}+\frac{1}{{{a_3}-{a_2}}}+…+\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{log₂（a_n-1）}的公差为d．由a₁=3，a₃=9可得b₁=1，b₃=3，可求d，由等差数列的通项公式可求log₂（a_n-1），进而可求a_n；
（2）求得$\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=\frac{1}{2^n}$，运用等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证．

解答 （1）解：设数列{b_n}的公差为d．
由a₁=3，a₃=9，
可得b₁=log₂2=1，b₃=log₂8=3，
得2d=3-1，解得d=1．
所以log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=2ⁿ+1；
（2）证明：由$\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=\frac{1}{2^n}$，
则$\frac{1}{{{a_2}-{a_1}}}+\frac{1}{{{a_3}-{a_2}}}+…+\frac{1}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．
故原不等式成立．

点评 本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，以及等比数列的求和公式的应用，考查对数的运算性质，属于基础题..