题目内容

已知函数f（x）=3ax⁴-2（3a+1）x²+4x
（ I）当 $数学公式$ 时，求f（x）的极值；
（ II）若f（x）在（-1，1）上是增函数，求a的取值范围．

解：（I ）a= $\text{[math]}$ ，f（x）= $\text{[math]}$
对函数求导可得，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2）
当x＞-2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增
x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，-2）上单调递减
x=-2是函数的极小值f（-2）=-12，没有极大值
（II）∵f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立
∴3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3ax²+3ax-1
则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或a=0
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或a=0
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）当 $\text{[math]}$ 时，对函数求导f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2），由导数确定函数的单调性，进而可求函数的极值与极值点；
（2）f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，从而3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立，可求a的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值与函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．