题目内容
1.已知F1,F2分别为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)左、右焦点,点P(1,y0)在椭圆上,且PF2⊥x轴,△PF1F2的周长为6;(1)求椭圆的标准方程;
(2)E、F是曲线C上异于点P的两个动点,如果直线PE与直线PF的倾斜角互补,证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
分析 (1)利用点P(1,y0)在椭圆上,且PF2⊥x轴,△PF1F2的周长为6,求出a,b,c,即可求椭圆的标准方程;
(2)设直线PE方程代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4($\frac{3}{2}$-k)2-12=0,求出E,F的坐标,由此能证明直线EF的斜率为定值.
解答 解:(1)由题意,F1(-1,0),F2(1,0),c=1,…(1分)
C△=|PF1|+|PF2|+2c=2a+2c=8…(2分)
∴$a=2,b=\sqrt{3}$…(3分)
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…(4分)
(2)由(1)知$P(1,\frac{3}{2})$,设直线PE方程:得y=k(x-1)+$\frac{3}{2}$,代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$,
得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4($\frac{3}{2}$-k)2-12=0…(6分)
设E(xE,yE),F(xF,yF).
∵点P(1,$\frac{3}{2}$)在椭圆上,
∴xE=$\frac{4(\frac{3}{2}-k)^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$,yE=kxE+$\frac{3}{2}$-k,…(12分)
又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数,在上式中以-k代k,
可得xF=$\frac{4(\frac{3}{2}+k)^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$,yF=-kxF+$\frac{3}{2}$+k,…(13分)
∴直线EF的斜率kEF=$\frac{{y}_{F}-{y}_{E}}{{x}_{F}-{x}_{E}}$=$\frac{1}{2}$.
即直线EF的斜率为定值,其值为$\frac{1}{2}$…(15分)
点评 本题考查椭圆方程的求法,考查直线EF的斜率为定值的证明,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
A. | $\frac{1}{a}$<$\frac{1}{b}$ | B. | a2>b2 | C. | $\frac{a}{{c}^{2}+1}$>$\frac{b}{{c}^{2}+1}$ | D. | |a|>|b| |
A. | $\frac{1}{4}:\frac{1}{6}:\frac{1}{π}$ | B. | $\frac{π}{6}:\frac{π}{4}$:2 | C. | 2:3:2π | D. | $\frac{π}{6}:\frac{π}{4}$:1 |