题目内容

若函数f（x）=2^|x+7|-|3x-4|的最小值为2，求自变量x的取值范围．

解：依题意，2^|x+7|-|3x-4|≥2
∴|x+7|-|3x-4|≥1，（2分）
当 $\text{[math]}$ 时，不等式为x+7-（3x-4）≥1解得x≤5，即 $\text{[math]}$ （3分）
当 $\text{[math]}$ 时，不等式为x+7+（3x-4）≥1解得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；（4分）
当x＜-7时，不等式为-x-7+（3x-4）≥1，解得 x≥6，与x＜-7矛盾（5分）
∴自变量x的取值范围为 $\text{[math]}$ ．（7分）
分析：分三种情况：①当 $\text{[math]}$ 时；②当 $\text{[math]}$ 时；③当x＜-7时对函数f（x）=2^|x+7|-|3x-4|，讨论去绝对值，得函数f（x）为分段函数．分别解相应范围内的不等式，先交后并，最终可以得出满足条件的自变量x的取值范围．
点评：本题考查了函数最值的应用，以及函数和不等式相综合等问题，属于基础题．按绝对值等于零的零点进行分类讨论，将函数化为分段函数来解决最值问题，是解决本小题的关键．