题目内容
【题目】如图所示的几何体中,为直三棱柱,四边形为平行四边形,,,.
(1)证明:四点共面,且;
(2)若,点是上一点,求四棱锥的体积,并判断点到平面的距离是否为定值?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析 (2)到平面的距离为定值,理由见解析
【解析】
(1)利用平行的传递性即可得到四边形为平行四边形,故,,,四点共面.根据已知得到,再利用勾股定理得到,即可证明平面,即.
(2)由(1)知平面,故四棱锥的高为,再计算其体积即可.因为∥,所以点到平面的距离为定值,且等于.
(1)证明:因为为直三棱柱,
所以∥,且,又因为四边形为平行四边形,
所以∥,且,所以∥,且,
所以四边形为平行四边形,所以,,,四点共面.
因为,又平面,
所以,所以四边形为正方形,连接交于,
所以.
在中,,.
由余弦定理得,
所以,所以,
所以,又,
所以平面,所以,
又因为,所以平面;
所以.
(2)解:由(1)知:平面,
在△中,由已知得,所以,
所以四棱锥的体积.
因为∥,所以点到平面的距离为定值,
即为点到平面的距离.
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