Question

设M是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程，有实数根②函数的导数满足.
(I) 若函数为集合M中的任意一个元素，证明：方程只有一个实数根；
(II) 判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由；
(III) 设函数为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意，当,且时,证明：.

Answer 1

(Ⅰ) 令，则，故是单调递减函数,
所以，方程，即至多有一解，
又由题设①知方程有实数根，
所以，方程有且只有一个实数根…………………………………..4分
(Ⅱ) 易知，，满足条件②；
令，
则，…………………………………..7分
又在区间上连续，所以在上存在零点，
即方程有实数根，故满足条件①，
综上可知，……….…………………9分
(Ⅲ)不妨设，∵,∴单调递增，
∴,即，
令，则，故是单调递减函数，
∴,即，
∴，
则有

略