Question

（2013•枣庄一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1，

3

），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
（2）是否存在这样的椭圆C，使得

PA

PF

是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由P（-1，

3

）在⊙O：x²+y²=b²上可求b，由PA是⊙O的切线可得，PA⊥OP即

OP

•

AP

=0，根据向量的数量积可求b，进而可求椭圆C的方程
（2）设F（c，0），由c²=a²-b²可求c，P（x₁，y₁），要使得

PA

PF

是常数，则有（x₁+a）²+y₁²=λ[（x₁+c）²+y₁²]
比较两边可得c，a的关系，结合椭圆的离心率的范围可求

解答：解：（1）∵P（-1，

3

）在⊙O：x²+y²=b²上，
∴b²=4．（2分）
又∵PA是⊙O的切线
∴PA⊥OP
∴

OP

•

AP

=0
即（-1，

3

）•（-1+a，

3

）=0，解得a=4．
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

4

=1（5分）
（2）∵c²=a²-b²，A（-a，0），F（-c，0），P（x₁，y₁）
使得

PA

PF

是常数，则有（x₁+a）²+y₁²=λ[（c+x₁）²+y₁²]（λ是常数）
∵x²+y²=b²
即b²+2ax₁+a²=λ（b²+2cx₁+c²），（8分）
比较两边，b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，（10分）
故cb²+ca²=a（b²+c²），即ca²-c³+ca²=a³，
即e³-2e+1=0，（12分）
（e-1）（e²+e-1）=0，符合条件的解有e=

5 -1

2

，
即这样的椭圆存在，离心率为

5 -1

2

．（16分）

点评：本题主要考查了由圆的切线的性质及向量的数量的基本运算求解椭圆的方程，椭圆的性质的应用，属于知识的综合性应用．