Question

17．设函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的最小正周期为π，且f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求ω和φ的值；     
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由周期公式T=$\frac{2π}{ω}$=π，可得ω=2，由f（$\frac{π}{4}$）=cos（$2×\frac{π}{4}+$φ）=cos（$\frac{π}{2}$+φ）=-sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$及-$\frac{π}{2}$＜φ＜0可得φ=-$\frac{π}{3}$．
 （2）由2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ（k∈Z）即可求得y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的单调递增区间．求f（x）的单调递增区间；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出角2x-$\frac{π}{3}$的范围，结合三角函数的性质即可求f（x）的取值范围．

解答 解：（1）周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
∵f（$\frac{π}{4}$）=cos（$2×\frac{π}{4}+$φ）=cos（$\frac{π}{2}$+φ）=-sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）得f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ（k∈Z），
∴kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z），
∴y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
求f（x）的单调递增区间；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
则2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
则cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[cos$\frac{2π}{3}$，cos0]，
即cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
即f（x）的取值范围是[$-\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题主要考查三角函数的解析式以及三角函数单调性的性质的应用，求出函数的解析式是解决本题的关键．